3 maniere om trinomale te faktoriseer

INHOUDSOPGAWE:

3 maniere om trinomale te faktoriseer
3 maniere om trinomale te faktoriseer

Video: 3 maniere om trinomale te faktoriseer

Video: 3 maniere om trinomale te faktoriseer
Video: Pharrell Williams - Happy (Video) 2024, Maart
Anonim

'N Trinoom is 'n algebraïese uitdrukking wat uit drie terme bestaan. U sal waarskynlik leer om kwadratiese trinome te faktoriseer, wat trinome is wat in die vorm byl geskryf is2 + bx + c. Daar is verskillende truuks wat op verskillende soorte kwadratiese trinome toegepas kan word, maar met oefening word u beter en vinniger. Polinoom van hoër grade, met terme soos3 of x4, kan nie altyd met dieselfde metodes opgelos word nie, maar u kan dikwels 'n eenvoudige faktorisering of termsubstitusie gebruik om probleme wat met enige kwadratiese formule opgelos kan word, om te skakel.

stappe

Metode 1 van 3: Factoring x2 + bx + c

Trinomiale faktor Stap 1
Trinomiale faktor Stap 1

Stap 1. Leer die verspreidingseiendom (ook bekend as FOIL in Engels) , om uitdrukkings soos (x+2) (x+4) te vermenigvuldig.

Voordat u met factoring begin, is dit goed om te weet hoe dit werk:

  • vermenigvuldig die eerste terme: (x+2)(x+4) = x2 + _
  • Vermenigvuldig die terme van buite: (x+2) (x+

    Stap 4.) = x2+ 4x + _

  • Vermenigvuldig die terme van binne: (x+

    Stap 2.)(x+4) = x2+4x+ 2x + _

  • vermenigvuldig die laaste terme: (x+

    Stap 2.) (x

    Stap 4.) = x2+4x+2x

    Stap 8.

  • Vereenvoudig: x2+4x+2x+8 = x2+6x+8
Trinomiale faktor Stap 2
Trinomiale faktor Stap 2

Stap 2. Verstaan faktorisering

As u twee binome saam vermenigvuldig met die distributiewe een, eindig u met 'n trinoom ('n drie-term uitdrukking) van die vorm a2+ b x+ c, waar “a”, “b” en “c” gewone getalle is. As u met 'n vergelyking van dieselfde vorm begin, kan u dit terugverdeel in twee binome.

  • As die vergelyking nie in die volgorde geskryf is nie, skuif die terme na die regte posisie. Skryf byvoorbeeld oor 3x - 10 + x2 soos x2 + 3x - 10.
  • Aangesien die grootste eksponent 2 (x2, word hierdie uitdrukking "kwadraties" genoem.
Trinomiale faktor Stap 3
Trinomiale faktor Stap 3

Stap 3. Bespaar 'n spasie vir die antwoord op die metode wat aangebied word

Vir eers, skryf net (_ _) (_ _) in die ruimte wat aan die antwoord gewy is. Ons sal hierdie velde binnekort invul.

Moet nog nie + of - tekens tussen leë terme plaas nie, aangesien ons nie weet watter een gebruik sal word nie

Trinomiale faktor stap 4
Trinomiale faktor stap 4

Stap 4. Vul die eerste terme in

In eenvoudige probleme waar die eerste term van u trinomium net x is2, die bepalings van die eerste posisie sal altyd wees x en x. Dit is die faktore van x2, want x keer x = x2.

  • Ons voorbeeld, x2 + 3x - 10, begin met x2dan kan ons skryf:
  • (x _) (x _)
  • Ons kyk na meer uitgebreide probleme in die volgende afdeling, insluitend trinome wat begin met 'n term soos 6x2of -x2. Volg vir eers die voorbeeldprobleem.
Trinomiale faktor stap 5
Trinomiale faktor stap 5

Stap 5. Gebruik faktorisering om die laaste terme te raai

As u teruggaan en die metode wat aanvanklik gebruik is, herlees, sal u sien dat die vermenigvuldiging van die laaste terme die laaste term in die polinoom gee (die een sonder x). Om mee te faktor, moet ons twee getalle vind wat vermenigvuldig om die laaste term te vorm.

  • In ons voorbeeld, x2 + 3x - 10, die laaste kwartaal is -10.
  • Wat is die faktore van -10? Watter twee getalle saam vermenigvuldig maak -10?
  • Daar is 'n paar moontlikhede: -1 keer 10, 1 keer -10, -2 keer 5 of 2 keer -5. Skryf hierdie pare êrens neer sodat jy dit nie vergeet nie.
  • Moet nog nie die antwoord verander nie. Sy lyk nog steeds so: (x _) (x _).
Trinomiale faktor stap 6
Trinomiale faktor stap 6

Stap 6. Toets watter moontlikhede met vermenigvuldiging van binne en binne werk

Ons het die laaste terme tot 'n paar moontlikhede verminder. Toets elkeen deur die eksterne en interne terme te vermenigvuldig, en vergelyk dan die resultaat met ons trinoom. Byvoorbeeld:

  • Die 'x' term van ons oorspronklike probleem is '3x', so dit is wat ons in die toets wil kry.
  • Toets -1 en 10: (x -1) (x+10). Buite + binnewaarde = 10x - x = 9x. Nie.
  • Toets 1 en -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Dit is nie reg nie. Nadat u -1 en 10 getoets het, weet u dat die antwoord 1 en -10 net die teenoorgestelde is van die bogenoemde resultaat: -9x in plaas van 9x.
  • Toets -2 en 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Dit stem ooreen met die oorspronklike polinoom, so dit is die korrekte antwoord: (x-2) (x+5).
  • In eenvoudige gevalle soos hierdie, as daar geen konstante voor die x is nie2, u kan 'n kortpad gebruik: voeg net die twee faktore by en sit 'n "x" na (-2+5 → 3x). Dit sal nie werk met meer ingewikkelde probleme nie, dus is dit goed om die volledige pad wat hierbo beskryf is, te onthou.

Metode 2 van 3: Ontwikkeling van meer uitgebreide trinome

Trinomiale faktor Stap 7
Trinomiale faktor Stap 7

Stap 1. Gebruik eenvoudige factoring om meer uitgebreide probleme te vergemaklik

Gestel jy moet faktoriseer 3x2 + 9x - 30. Soek 'n getal wat al drie terme (hul "grootste gemene deler", of MDC) faktoreer. In hierdie geval is dit 3:

  • 3x2 = (3) (x2)
  • 9x = (3) (3x)
  • -30 = (3)(-10)
  • So 3x2 + 9x - 30 = (3) (x2+3x-10). Ons kan die nuwe trinoom uitreken deur die stappe aan die begin van hierdie artikel te gebruik. Die antwoord sal wees (3) (x-2) (x+5).
Trinomiale faktor Stap 8
Trinomiale faktor Stap 8

Stap 2. Soek meer uitgebreide faktore

Soms kan die faktor veranderlikes insluit, of u moet 'n paar keer faktoriseer totdat u die eenvoudigste uitdrukking vind. Hier is 'n paar voorbeelde:

  • 2x2y + 14xy + 24y = (2 jaar)(x2 + 7x + 12)
  • x4 + 11x3 - 26x2 = (x2)(x2 + 11x - 26)
  • -x2 + 6x - 9 = (-1)(x2 - 6x + 9)
  • Moenie vergeet om nog 'n keer die nuwe trinomium in berekening te bring nie, gebruik die stappe van die begin af. Gaan u antwoord na en vind soortgelyke voorbeeldkwessies aan die einde van hierdie artikel.
Trinomiale faktor Stap 9
Trinomiale faktor Stap 9

Stap 3. Los probleme op met 'n getal voor die x2.

Sommige kwadratiese trinome kan nie vereenvoudig word totdat u die maklikste tipe probleem bereik het nie. Leer hoe om probleme soos 3x op te los2 + 10x + 8 en oefen dan met die voorbeeldprobleme aan die einde van hierdie artikel:

  • Stel die antwoord saam: (_ _)(_ _)
  • Die eerste terme het elk 'n "x" en as dit vermenigvuldig word, lei dit tot 3x2. Hier is slegs een moontlike opsie: (3x _) (x _).
  • Lys die faktore van 8. Ons opsies is 1 keer 8, of 2 keer 4.
  • Toets hulle met behulp van die terme buite en binne. Let op dat die volgorde van faktore saak maak, aangesien die term buite word vermenigvuldig met "3x", nie met "x" nie. Probeer alle moontlikhede totdat u 'n resultaat van buite + binne 10x kry (volgens die oorspronklike probleem):
  • (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x Nie.
  • (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x Nie.
  • (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x Nie.
  • (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x Ja, dit is die korrekte faktor.
Trinomiale faktor Stap 10
Trinomiale faktor Stap 10

Stap 4. Gebruik substitusie vir hoërgraadse trinome

Jou wiskundehandboek kan jou verras met 'n hoë x eksponentvergelyking4, selfs nadat u alreeds eenvoudige faktorisering gebruik het om die probleem te verlig. Probeer dit vervang deur 'n nuwe veranderlike wat die vergelyking verander in iets wat u kan oplos. Byvoorbeeld:

  • x5+13x3+36x
  • = (x) (x4+13x2+36)
  • Kom ons bedink 'n nuwe veranderlike. Ons sal sê dat y = x2 en ons sal die vervangings maak:
  • (x) (y2+13y+36)
  • = (x) (y+9) (y+4). Gaan nou terug na die gebruik van die oorspronklike veranderlike:
  • = (x) (x2+9) (x2+4)
  • = (x) (x ± 3) (x ± 2)

Metode 3 van 3: Factoring in spesiale gevalle

Trinomiale faktor Stap 11
Trinomiale faktor Stap 11

Stap 1. Soek priemgetalle

Kontroleer of die konstante in die eerste of derde term van die trinoom 'n priemgetal is. 'N priemgetal kan slegs op sigself en met 1 gedeel word, dus is daar slegs een moontlike paar binomiale faktore.

  • Byvoorbeeld, in x2 + 6x + 5, "5" is 'n priemgetal, so die binominium moet so lyk: (_ 5) (_ 1).
  • In 3x probleem2+10x+8, 3 is 'n priemgetal, dus die binomiaal moet so lyk: (3x _) (x _).
  • Vir die 3x probleem2+4x+1, beide "3" en "1" is priemgetalle, dus die enigste moontlike oplossing is (3x+1) (x+1). (U moet steeds hierdie vermenigvuldiging uitvoer om u berekening na te gaan, aangesien sommige uitdrukkings nie in berekening gebring kan word nie - byvoorbeeld, 3x2 + 100x + 1 het geen faktore nie).
Trinomiale faktor Stap 12
Trinomiale faktor Stap 12

Stap 2. Kontroleer of die trinoom 'n perfekte vierkant is

'N Perfekte vierkantige driehoek kan in twee identiese binome verdeel word, en die faktor word gewoonlik as (x+1) geskryf2, in plaas van (x+1) (x+1). Hier is 'n paar algemene wat gewoonlik in die moeilikheid verskyn:

  • x2+2x+1 = (x+1)2, en x2-2x+1 = (x-1)2
  • x2+4x+4 = (x+2)2, en x2-4x+4 = (x-2)2
  • x2+6x+9 = (x+3)2, en x2-6x+9 = (x-3)2
  • In 'n perfekte vierkantige driehoek in die vorm van 'n x2 + bx + c, die terme "a" en "c" is altyd positiewe perfekte vierkante (soos 1, 4, 9, 16 of 25), en die term b (positief of negatief) is altyd gelyk aan 2 (√a * √c).
Trinomiale faktor Stap 13
Trinomiale faktor Stap 13

Stap 3. Kyk of daar geen oplossing is nie

Nie alle trinome kan in berekening gebring word nie. As u vasstaan op 'n kwadratiese trinoom (byl2+bx+c), gebruik die kwadratiese formule om die resultaat te vind. As die enigste antwoorde die vierkantswortel van 'n negatiewe getal is, is daar geen werklike oplossing nie, dus is daar geen faktore nie.

Gebruik vir nie-kwadratiese trinome die Eisenstein-maatstaf, wat in die wenke-afdeling beskryf word

Antwoorde en probleemvoorbeelde

  1. Antwoorde op die mees uitgebreide factoringprobleme.

    Dit is die probleme met die gedeelte oor 'meer uitgebreide' trinome. Ons het hulle reeds vereenvoudig, wat dit 'n makliker probleem gemaak het. Probeer dit nou op te los met behulp van die stappe van die begin af, en kyk dan na u berekeninge hier:

    • (2y) (x2 + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
    • (x2) (x2 + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
    • (-1) (x2 -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)2
  2. Probeer om meer komplekse factoringprobleme op te los.

    Hierdie probleme het 'n gemeenskaplike faktor in elke kwartaal wat eers in berekening gebring moet word. Merk die spasie na die gelyke tekens om die antwoord te sien en kyk na u berekeninge hier:

    • 3x3+3x2-6x = (3x) (x+2) (x-1) ← beklemtoon hierdie spasie om u antwoord te sien
    • -5x3y2+30x2y2-25j2x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
  3. Oefen met moeilike probleme.

    Hierdie probleme kan nie in makliker vergelykings verdeel word nie, dus moet u 'n antwoord in die vorm van (_x + _) (_ x + _) maak deur te toets:

    • 2x2+3x-5 = (2x+5) (x-1) ← beklemtoon om die antwoord te sien
    • 9x2+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)2 (Wenk: u moet miskien meer as 'n paar faktore vir 9x probeer).

    Wenke

    • As u nie weet hoe om 'n kwadratiese trinoom (byl2+bx+c), kan die kwadratiese formule gebruik om die waarde van x te vind.
    • Alhoewel u nie hoef te weet hoe u dit moet doen nie, kan u die kriterium van Eisenstein gebruik om vinnig te bepaal of 'n polinoom onherleibaar is en nie in berekening gebring kan word nie. Hierdie maatstaf is van toepassing op enige polinoom, maar dit werk veral goed met trinome. As daar 'n priemgetal "p" is wat die laaste twee terme gelykop verdeel en aan die volgende voorwaardes voldoen, dan is die polinoom onherleibaar:

      • Die konstante term (geen veranderlike) is 'n veelvoud van p, maar nie p.2.
      • Die hoofterm (bv. "A" in byl2+bx+c) is nie 'n veelvoud van p.
      • Byvoorbeeld, 14x2 + 45x + 51 is onherleibaar, aangesien daar 'n priemgetal (3) is wat 45 en 51 gelyk verdeel, maar nie 14 nie, en 51 kan nie gelyk deur 3 gedeel word nie2.

    Kennisgewings

    Alhoewel dit geld vir kwadratiese vergelykings, is faktoreerbare trinome nie noodwendig die produk van twee binome nie. Byvoorbeeld: x4 + 105x + 46 = (x2 + 5x + 2) (x2 - 5x + 23).

Aanbeveel: